TRANSFORMASI LINIER

TRANSFORMASI LINIER DARI  ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI

Pada bagian ini kita menelaah transformai linier dari  dan mendapatkan sifat-sifat geometri dari transformasi linier dari .

Mula-mula kita akan memperlihatkan bahwa setiap transformasi linier dari adalah transformasi matriks. Lebih tepat lagi, kita akan memperlihatkan bahwa  adalah sebarang transformasi linier, maka kita dapat mencari nilai matriks A yang berukran m x n sehingga T adalah perkalia noleh A, misalnya :

e_1, e₂,…, e_n

Basis baku untuk  dan misalkan A adalah matriks m x n yang mempunyai

Sebagai Vektor – vector kolomnya, (kita akan menganggap dalam bagian ini bahwas semua vector dinyatakan dalam notasi matriks.) misalnya, jika  diberikan oleh

Maka

dan

                                                                         ini dinamakan matriks baku untuk T.

Teorema 5.  Jika  adalah transformasi linier, dan jika adalah basis baku untuk  , maka T adalah perkalian oleh A, dimana A adalah matriks yang menghasilkan vector kolom

Contoh:

Carilah matriks baku untuk tranformasi  yang didefinisikan oleh

Pemecahan:

Dengan menggunakan sebagai vector-vektor kolom, maka kita dapatkan:

Pada bagian selebihnya dari bagian inti kita akan menelaah sifat geometrik mengenai transformasi linier  bidang. Yakni transformasi linier dari R² ke R³. Jika T: R²  R² adalah transformasi seperti itu dan

Adalah matriks baku untuk T, maka

Ada dua tafsiran geometrik dari rumus ini yang sama baiknya. Kita dapat meninjau entri-entri dalam matriks-matriks

Contoh:

Misalkan T: R²  R² adalah transformasi linier yang memetakan masing-masing titik ke dalam bayangan simetrinya terhadap sumbu y. Carilah matriks baku T.

Pemecahan

Dengan menggunakan  dan  sebagai vektor-vektor kolom akan kita dapatkan matriks baku

Sebagai pemeriksaan, maka

Sehingga perkalian oleh A akan memetakan titik (x, y) ke dalam bayangan simetriknya (-x, y) terhadap sumbu y.

            Ada lima jenis transformasi linier bidang yang mempunyai makna khusus: perputaran (rotasi), refleksi, ekspansi, konpresi, dan geseran.

Perputaran (rotasi). Jika T: R²  R² untuk masing-masing titik dlam bidang terhadap titik asal melalui sudut , maka matriks baku untuk T adalah

Refleksi. Refleksi terhadap sebuah garis l melalui titik asal adalah transformasi yang memetakan masing-masing titik pada bidang ke dalam bayangan cerminnya terhadap l. Dapat diperlihatkan bahwa refleksi adalah transformasi linier. Matriks baku untuk transformasi-transformasi ini adalah:

Refleksi terhadap sumbu y

Refleksi terhadap sumbu x

Refleksi terhadap garis y=x

Ekspansi dan Kompresi. Jika koordinat x dari masing-masing titik pada bidang dikalikan dengan konstanta k yang positif, maka efeknya adalah memperluas atau mengkompresi masing-masing gambar bidang dalam arah x. Jika 0 < k <1, maka hasilnya adalah kompresi, dan jika k > 1, maka hasilnya adalah ekspansi. Kita namakan transformasi seperti itu  ekspansi (atau kompresi) dalam arah x  dengan faktor k. Demikian juga, jika koordinat y dari masing-masing titik dikalikan dengan konstanta k positif, kita dapatkan sebuah ekspansi (atau kompresi) dalam arah y  dengan faktor k. Dapat diperlihatkan bahwa ekspansi dan kompresi sepanjang sumbu-sumbu koordinat adalah transformasi linier.

            Jika T: R²  R² adalah ekspansi atau kompresi dalam arah x dengan faktor k, maka

Sehingga matriks baku untuk T  adalah

Demikian juga, matriks baku untuk ekspansi dan kompresi didalam arah y adalah

Geseran. Sebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang menggerakkan masing-masing titik (x, y) sejajar dengan sumbu x sebanyak ky menuju kedudukan yang baru (x+ky, y). Dibawah transformasi seperti itu, titik-titik pada sumbu x tidak digerakkan karena y=0. Akan tetapi, sewaktu kita makin menjauh dari sumbu x, besar y bertambah, sehingga titik-titik yang lebih jauh dari sumbu x bergerak sejarak yang lebih besar dari titik-titik yang lebih dekat ke sumbu x tersebut.

            Sebuah geseran dalam arah y dengan faktor k adalah transformasi yang menggerakkan masing-masing titik (x, y) sejajar dengan sumbu y sebanyak kx menuju kedudukan yang baru (x, y+ky). Dibawah transformasi seperti itu, titik-titik pada sumbu y tetap diam dan titik-titik yang lebih jauh dari sumbu y bergerak sejarak yang lebih besar dari titik-titik yang lebih dekat ke sumbu y  tersebut.

            Dapat kita perlihatkan bahwa geseran adalah transformasi linier. Jika T: R²  R² adalah geseran dengan faktor k yang mengarah x, maka

Sehingga matriks baku untuk T  adalah

Demikian juga, matriks baku untuk ekspansi dan kompresi didalam arah y adalah

Contoh

a)      Carilah transformasi matriks R² ke R² yang mula-mula menggeser dengan factor sebesar 2 dalam arah x dankemudian merefleksikannya terhadap y = x.

b)      Carilah transformasi matrriks dari R² ke R² yang mula-mula merefleksikan terhadap y=x dan kemudian mengegser  dengan sebuah faktor  sebesar 2 dalam arah  x.

Penyelesaian:

a)      Matriks baku untuk geseran adalah

dan untuk refleksi adalah

Maka matriks baku yang diikuti oleh refleksi adalah:

b)      Refleksi yang diikuti oleh geseran dinyatakan dengan

Jadi dapat dikatakan bahwa sehingga efek pergeseran dan kemudian merefleksinya, berbeda dari efek refleksi yang diikuti oleh penggeseran.

Misalkan  T:R²  R² adalah perkalian oleh sebuah matriks A yang dapat dibalik dan misalkan bahwa T memetakkan titik (x , y) ke titik (x^’, y^’) maka

Maka jelaslah dari persamaan-persamaan ini, bahwa jika perkalian oleh A memetakan (x,y) ke (x’,y’) maka perkalian oleh  A^-1 Memetakan (x’,y’) kembali ke kedudukannya yang semula (x, y). Oleh sebab itu, maka perkalian oleh A dan perkalian oleh A^-1 dikatakan sebagai transformasi-transformasi invers.

Contoh

Jika T:R²  R²mengkompresi bidang dengan sebuah faktor sebesar ½ dalam arah y,  maka jelaslah secara intutif bahwa kita harus memperluas bidang tersebut dengan sebuah faktor sebesar 2 dalam arah y untuk memindahkan masing-masing titik kembali ke kedudukannya yang semula. Karena,

menyatakan kompresi yang faktornya ½ dalam arah y, dan

   adalah ekspansi yang faktornya 2 dalam arah y.

Teorema 6. Jika T:R²  R² adalah perkalian oleh matriks A yang dapat dibalik, maka efek geometrik dari T sama dengan urutan yang sesuai dari geseran, kompresi, ekspansi, dan refleksi.

Bukti. Karena A dapat dibalik, maka A dapat direduksi pada identitas dengan urutan berhingga dari operasi baris elementer. Sebuah operasi baris elementer dapat dilakukan dengan mengalikan matriks elementer dari kiri, sehingga terdapat matriks-matriks elementer E₁, E­₂,...E_k, sehingga

E_k.....E₂ E₁A=I

Dengan memecahkan untuk A anak menghasilkan

A=E₁^-1 E₂^-1 … E_k^-1I

Atau secara ekivalen

A=E₁^-1 E₂^-1 … E_k^-1

Persamaan ini menyatakan A sebagai hasil kali matriks-matriks elementer ( karena invers dari matriks elementer adalah juga matriks elementer menurut teorema 11)

Teorema 7. Jika T:R →  R² adalah perkalian oleh matriks yang dapat dibalik, maka :

a)      Banyangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus

b)      Banyangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal

c)      Banyangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar

d)      Banyangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah segmen garis yang mengubungkan banyangan P dan banyangan Q

e)      Banyangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis lurus jika dan hanya jika titik-titik tersebut terletak pada garis itu sendiri.

PERYATAAN.  Jelaslah dari bagian c, d, dan e bahwa perkalian dengan matriks A yang berukuran 2 x 2 dan yang dapat dibalik memetakan segitiga ke dalam segitiga dan juga memetakan jajaran genjang ke dalam jajaran genjang itu sendiri.

Contoh

Menurut teorema 7, matriks yang dapat dibalik

A =  memetakan garis y = 2x +1 ke dalam garis lain. Carilah persamaannya.

Penyelesaian.

Misalkan (x.y) adalah sebuah titik pada garis y = 2x + 1 dan misalkan (x’, y’) adalah bayangannya di bawah perkalian oleh A. Maka

 =  

dan

 = ^-1    =  

Sehingga

x = x’ – y’

y = -2x’ + 3y’

Dengan menyulihkannya ke dalam y = 2x + 1 maka akan menghasilkan

-2x’ +3y’ = 2 (x’ – y’) + 1

Atau secara ekivalen  

y’ = x’ +

Jadi (x’, y’) memenuhi

y = x +

yang merupakan persamaan yang kita inginkan.

MATRIKS TRANSFORMASI LINEAR

Pada bagian ini kita memperhatikan bahwa jika V dan W adalah ruang vektor berdimensi berhingga (tidak perlu Rⁿ dan R^m) maka dengan sedikit kelihaian sebarang transformasi linear T : V → W dapat ditinjau sebagai transformasi matriks. Gagasan dasarnya adalah memilih basis untuk V dan W yang bekerja dengan matriks kordinat vektor terhadap basis ini dan bukan bekerja dengan vektor itu sendiri.

Misalkan bahwa V adalah ruang vektor berdimensi N dan W adalah ruang vektor berdimensi M. Jika kita memilih basis B untuk V dan basis B’ untuk W, maka untuk masing-masing X  di V, matriks kordinat [X]_B akan merupakan vektor di Rⁿ sedangkan matriks kordinat [T(X)]_B’ akan merupakan vektor di R^n. Jadi, proses pemetaan X ke dalam T(X), transformasi linear T menghasilkan sebuah pemetaan dari R^N ke R^m dengan menempatkan [x]_B ke [T(X)]_B’. Kita dapat memperlihatkan bahwa pemetaan yang dihasilkan ini selalu merupakan transformasi linear. Dengan demikian pemetaan tersebut dapat dilaksanakan dengan menggunakan matriks A baku untuk transformasi tersebut yakni,

A[x]_B = [T(x)]_B’      ------------------------------------------------------------------------ (5.16)

Untuk mencari matriks A yang memenuhi persamaan ini, misalkan V adalah ruang berdimensi N dengan basis B = {u_1,u_2,u_3, ...., u_n} dan W adalah ruang berdimensi M dengan basis B’ = {v_1, v_2, v_3,..., v_m}. Selanjutnya kita akan mencari m x n dengan

=  

Sehingga (5.16) memenuhi untuk semua vektor x di V. Khususnya, kita ingin agar persamaan ini dapat memenuhi vektor basis u₁, u₂, ..., u_n, yakni :

_B B,      _B B,      .....,     _B B   --------(5.17)

Tetapi

_B = ,      _B =     ....,     _B =

Sehingga

_B =

_B =

….

_B =

Dengan menyulihkan hasil ini kedalam (5.17) menghasilkan

_B’,    _B’, ..., _B’

Yang menunjukkan bahwa kolom A yang berurutan merupakan matriks koordinat dari

T(u₁), T(u₂),…, (T(u_n)

yang bertalian dengan basis B’. Dengan melanjutkan cara ini kita peroleh matriks unik A yang kita namakan matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B’. Secara simbolis, kita dapat menyatakan matriks ini dengan:

Matriks A tersebut pada umumnya dinyatakan dengan simbol:

[T]_B,B’

Sehingga dengan demikian rumus yang baru saja kita peroleh dapat juga kita tuliskan sebagai:

       (5.18a)

Dimana .

Dalam kasus khusus dimana V = W (sehingga dengan demikian T : V → V adalah operator linear x) biasanya untuk mengambil  apabila kita membentuk matriks untuk  

Jika hal ini Anda lakukan, maka matriks yang dihasilkan dinamakan matriks untuk T yang bertalian dengan basis B. Untuk menyederhanakannya kita akan menulis:

       (5.18b)

Dimana

Contoh:

Misalkan  adalah operator linear yang didefenisikan oleh

Carilah matriks untuk T yang bertalian dengan basis B = {u₁, u₂} dimana

a)     

b)     

Pemecahan:

a)      Karena B adalah basis baku untuk R², bahwa [T]_B adalah matriks baku untuk T. Tetapi

Sehingga

Karena B adalah basis baku untuk R², berikutnya bahwa _B dan _B, sehingga dengan demikian matriks yang sama akan menghasilkan jika kita menggunakan rumus (5.18b).

b)      Dari definisi T

Maka,

Akibatnya

Contoh

Misalkan T:  merupakan transformasi linear yang diberikan oleh

Carialh matriks untuk T yang bertalian dengan basis B=  untuk dab {v₁, v_2, v₃} untuk , dimana

   ,       ;     ,  ,   ,

Pemecahan:dari rumus untuk T

 T     T

Dengan menyatakan vector vector ini sebagai kombinasi linear dari  kita

peroleh (buktikan):

T  2 ,  T  

Jadi, _B      , _B  

[T]_B,B’

Jika T:V adalah transformasi linear maka dengan notasi (5.18a),rumus (5.16) dapat kita tulis sebagai

[T]_B,B’[x]_{B B’---------------------------------------------------------------------------} (5.19a)

Dan jika T:V adalah operator linier, maka dari (5.18a), dan (5.16)

[T]_B, [x]_{B B---------------------------------------------------------------------------}(5.19b)

BAB III

KESIMPULAN

Setiap transformasi linier dari adalah transformasi matriks. Lebih tepat lagi, kita akan memperlihatkan bahwa  adalah sebarang transformasi linier, maka kita dapat mencari nilai matriks A yang berukran m x n sehingga T adalah perkalia noleh A, misalnya:

e_1, e₂,…, e_n

Basis baku untuk  dan misalkan A adalah matriks m x n yang mempunyai

Ada lima jenis transformasi linier bidang yang mempunyai makna khusus: perputaran (rotasi), refleksi, ekspansi, konpresi, dan geseran.

Misalkan bahwa V adalah ruang vektor berdimensi N dan W adalah ruang vektor berdimensi M. Jika kita memilih basis B untuk V dan basis B’ untuk W, maka untuk masing-masing X  di V, matriks kordinat [X]_B akan merupakan vektor di Rⁿ sedangkan matriks kordinat [T(X)]_B’ akan merupakan vektor di R^n. Jadi, proses pemetaan X ke dalam T(X), transformasi linear T menghasilkan sebuah pemetaan dari R^N ke R^m dengan menempatkan [x]_B ke [T(X)]_B’. Kita dapat memperlihatkan bahwa pemetaan yang dihasilkan ini selalu merupakan transformasi linear. Dengan demikian pemetaan tersebut dapat dilaksanakan dengan menggunakan matriks A baku untuk transformasi tersebut yakni,

A[x]_B = [T(x)]_B’      

Untuk mencari matriks A yang memenuhi persamaan ini, misalkan V adalah ruang berdimensi N dengan basis B = {u_1,u_2,u_3, ...., u_n} dan W adalah ruang berdimensi M dengan basis B’ = {v_1, v_2, v_3,..., v_m}. Selanjutnya kita akan mencari m x n dengan

=  

Sehingga (5.16) memenuhi untuk semua vektor x di V. Khususnya, kita ingin agar persamaan ini dapat memenuhi vektor basis u₁, u₂, ..., u_n, yakni :

_B B,      _B B,      .....,     _B B 

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard , 1987, Aljabar Linier Elementer (Edisi Kelima), Bandung: PT. Gelora Aksara Pratama